1. Le problème posé dans LPU n° 30 (févr. 2001) : http://usan.ffspeleo.fr/spip2129/spip.php?article184
2. Les éléments mathématiques de réponse dans LPU n° 30 : http://usan.ffspeleo.fr/spip2129/spip.php?article189
3. La solution du problème pour ceux qui n'ont compris ou su faire dans LPU n° 31 : http://usan.ffspeleo.fr/spip2129/spip.php?article193

private static double OrthodromicDistance(double x0, double y0, double x1, double y1)

{

x0 *= Math.PI / 180; y0 *= Math.PI / 180;
x1 *= Math.PI / 180; y1 *= Math.PI / 180;
return 6371000 * 2 * Math.Asin(Math.Sqrt(Math.Pow(Math.Sin((y0 - y1) / 2), 2) +
Math.Cos(y0) * Math.Cos(y1) * Math.Pow(Math.Sin((x0 - x1) / 2), 2)));

}

Un papier et un crayon suffisent, mais pour s'amuser à pas cher ou gratuitement il existe de nombreux logiciels simples pour lycéens, collégiens, et même aussi utilisables par des enfants du primaire :

• l'Éducation Nationale se sert de CABRI (voir ici une copie de sa présentation).

Il y en a d'autres bien pires : MathLab, Mathematica actuellement repris par WOLFRAM (c'est raide et uniquement en ligne de commande, mais sans limites) ; ces derniers processeurs de calculs sont lourds mais on peut trouver des vieux clous gratos.

Pas la peine de se mettre le cerveau en clysopompe ; la plupart des sites de carto offrent cette fonctionnalité, par exemple Geoportail. C'est surtout pratique pour des distances ne dépassant pas quelques kilomètres mais c'est souvent le cas pour nous.

Voilà donc deux formules de calcul pour une surface plane (en négligeant la sphéricité de la Terrre) et donc valables pour des distances relativement proches. La première est la plus simple des deux car elle suppose que les deux points sont à la même altitude (Z négligé). La seconde un peu plus complexe tient compte de l'altitude de chacun des deux points. Si vous n'êtes pas sur un Causse, préférez donc la seconde.

• 1)
  Soient deux points A et B dont on veut mesurer la distance.
  Leurs coordonnées dans un repère orthonormé classique [O,x,y] sont A : (Xa, Ya) et B : (Xb, Yb), le tout dans un plan horizontal.
  Distance [AB] = sqrt [ (Xa - Xb)² + (Ya - Yb)² ]   sqrt = racine carrée
  CQFD
  
• 2 )
  Soient deux points A et B dont on veut mesurer la distance. Leurs coordonnées dans un repère orthonormé classique [O,x,y,z] sont A : (xa, ya, za) et B : (xb, yb, zb) avec Oz vertical orienté vers le haut (pour tenir compte de l'altitude du point), Ox et Oy sont sur un plan horizontal (en gros, le plancher des vaches).
  Avec la relation de Chasle, le vecteur AB a pour coodonnées : (xb - xa), (yb - ya), (zb - za)
  Pour alléger la rédaction qui va suivre et faciliter la lecture on va appeler "u, v, w" le triplet précédent ("u" mis pour (xb - xa) etc.).
  D'après le théorème de Pythagore, AB ² = u² + v² + w² ; on en déduit que la racine carrée de (AB²) = AB = norme du Vecteur AB = sa "longueur" pour les béotiens = distance entre A et B.
  CQFD

Un exemple avec la formule N°1

Calcul de la distance (approximative) en mètres entre le Boulidou de Cazilhac (point A) et l'Abîme de Rabanel à Brissac (point B), les coordonnées utilisées ici pour ces deux points sont en Lambert III métrique. A : 0709287 / (3)180878 et B : 708330 / (3)177065

NB : le chiffre "3" est entre parenthèses car ce n'est pas un chiffre significatif de la mesure de longueur projetée, c'est juste un préfixe qui indique la zone III. Donc on ne s'en sert pas pour les calculs.

D² = (709287 - 708330)² + (180878 - 177065)² = 957² + 3813² = 915 849 + 14 538 969 = 15 454 818 d'où D = 3 931,26 m

Le logiciel de cartographie (qui calcule en orthodromie) me donne 3 940 m : ce n'est déjà pas trop mal vu que Rabanel fait bien plus de 8,74 m de diamètre...

Même exemple avec la formule N°2

Il suffit d'ajouter l'altitude, nous prendrons A : 166 m et B : 339 m
Donc D² devient 15 454 818 + (339 - 166)² = 15 454 818 + 27 556 = 15 482 374

D'où on calcule D = 3 934,76 m ce qui encore plus proche de la valeur donnée par le logiciel (moins de 5 m d'écart soit environ 0.1%) !

Sujets connexes :

• la cartographie
• calculer en ligne la distance entre deux points A et B